Differentiëren

Differentiëren is een operatie op functies $$ f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$. Het betreft het uitrekenen van een zeker differentiaalquotiënt, een zekere limiet. Het is niet zo dat deze limiet altijd bestaat, en in dat geval heet een functie niet-differentieerbaar. Functies die je kan differentiëren zijn heel belangrijk binnen de calculus.

Definitie
Stel dat $$f:\mathbb{R}\supseteq D\to \mathbb{R}$$ een functie is, en $$a\in D$$. Dan is de volgende uitdrukking het differentiaalquotiënt, of het Newtonquotiënt:

$$ \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Als deze limiet bestaat dan heet $$f$$ differentieerbaar in $$a$$. Als de limiet voor alle $$a\in D$$ bestaat, dan is deze limiet, die de afgeleide wordt genoemd, ook een functie van $$ D$$ naar $$ \mathbb{R}$$, en deze wordt genoteerd met $$f'$$.

Standaardafgeleides
Er zijn heel veel functies die een bekende afgeleide hebben die je mag gebruiken. Met alleen deze afgeleides, en de regels voor afgeleides kom je meestal een heel eind met afgeleides berekenen. Een overzicht:

$$ [c]'=0$$, waar $$c$$ een constante is.

$$ [x^n]'=nx^{n-1}$$, voor alle reële $$ n$$.

$$[\sin(x)]'=\cos (x)$$, en $$[\cos (x)]'=-\sin(x)$$.

Regels voor afgeleides
De belangrijkste regels voor afgeleides zijn de productregel en de somregel. Daarnaast is de kettingregel een handige hulp. Met behulp van deze regels is het bijvoorbeeld makkelijk om polynomen te differentiëren. Een andere belangrijke eigenschap van differentieerbare functies is dat ze altijd continu zijn, een bewijs staat hier. Een andere stelling over afgeleides is de middelwaardestelling. Een overzicht van alle stellingen staat op deze pagina.

Impliciet differentiëren
Soms wil je een grafiek differentiëren die je eigenlijk helemaal niet kan differentiëren. Bijvoorbeeld de grafiek van een cirkel. Deze grafieken heten impliciete functies. Ze worden dus gegeven door een vergelijking $$F(x,y)=0$$, en alle $$x,y$$ die aan deze vergelijking voldoen teken je in de grafiek. In het geval van de cirkel is de relatie $$x^2+y^2-1=0$$. We gebruiken de methode van het zogeheten rechtstreeks afleiden. Je doet net of $$y$$ een functie is van $$x$$, en je kan dan gewoon $$y'$$ opschrijven als afgeleide.