Associatief

Associativiteit is een eigenschap van operaties. Het betekent dat het niet uitmaakt hoe je de haakjes neerzet. Dit is een bekende eigenschap van bijvoorbeeld optellen, want er geldt bijvoorbeeld dat $$(1+2)+3=1+(2+3)$$. De haakjes staan anders, maar de uitkomst is hetzelfde. In heel veel gevallen worden de haakjes niet eens meer opgeschreven, zoals bijvoorbeeld in het geval van optellen.

Definitie
Er is een heel korte definitie van associativiteit. Stel dat we een operatie $$ * $$ hebben. Dan heet de operatie associatief als voor alle elementen van het domein van de operatie geldt

$$ a *(b*c)=(a*b)*c$$.

Dit is genoeg om alle haakjes weg te mogen halen, wat wordt uitgelegd in het volgende stukje.

Haakjes weglaten
We gaan bewijzen dat het niet uitmaakt hoe je de haakjes zet. We bewijzen dit met inductie naar het aantal termen. De stelling is waar voor drie termen: dat is gewoon de definitie van associativiteit. Stel dat het voor $$n$$ termen waar is. Dan bekijken we de som

$$a_1+a_2+\ldots+a_n+a_{n+1}$$

Stel dat we ergens twee haakjes zetten, om twee termen heen. Hoe we dat ook doen, we houden $$n$$ termen over. Het maakt niet uit hoe we de haakjes hier neer zetten, volgens de inductiehypothese.