Volledige inductie

Volledige inductie, of kortweg, inductie, is een methode om eigenschappen te bewijzen van natuurlijke getallen. De kern van inductie werkt ongeveer als volgt: stel dat een of andere stelling waar is voor 0. Je bewijst nu dat als de stelling waar is voor een getal $$ n$$, dat hij dan ook waar is voor $$n+1$$. Er volgt dan dat de stelling waar is voor alle getallen. Hij is namelijk waar voor 0, en dus ook voor 1, en daardoor ook voor 2, enzovoorts. Inductie is daarom te vergelijken met het "dominosteeneffect".

Uitleg en voorbeelden
Inductie kan je het best uitleggen aan de hand van een voorbeeld. We hebben daarom de volgende stelling: voor alle natuurlijke getallen is $$ 4^n-1$$ deelbaar door 3. Eerst vullen we eens wat getallen in:

Zoals je ziet klopt de stelling voor een paar kleine getallen. Voor grotere getallen krijg je al snel meer rekenwerk, en dat is natuurlijk niet prettig. Is er misschien een truc voor als we 5 invullen? Ja, kijk maar:

$$ 4^5-1=4\cdot 4^4-1=3\cdot 4^4+4^4-1=3\cdot 4^4+(4^4-1)$$

Dit is iets waar we wat aan hebben. Het is duidelijk dat $$3\cdot 4^4$$ deelbaar is door 3. Daarnaast is $$4^4 -1$$ ook deelbaar door 3, want dat staat in de tabel hierboven. Daaruit volgt dat de som van die twee ook deelbaar is door 3. En volgens de vergelijking hierboven is die som precies $$4^5-1$$. Wat is er nu bijzonder aan deze truc? Je kan hem nog een keer doen! Voor 6 krijgen we dan

$$ 4^6=4\cdot 4^5-1 =3\cdot 4^5+(4^5-1)$$

en daaruit volgt met dezelfde redenatie dat $$4^6-1$$ ook deelbaar is door 3. Het is duidelijk dat deze truc onbeperkt vaak uitgevoerd kan worden. Daarom is de stelling ook waar voor alle natuurlijke getallen. Dit is de kern van inductie. Je verzint een of andere truc die je oneindig vaak kan toepassen, en daarmee kan laten zien dat je stelling waar is voor alle getallen. Wat je dus doet is het volgende: om te bewijzen dat je stelling waar is voor een zeker getal $$k+1$$, hoef je alleen maar te laten zien dat de stelling waar is voor $$k$$. Dit heet de inductiestap, en hierover wordt meer verteld in het volgende stukje.

Wat is inductie precies?
Inductie bestaat uit twee onderdelen, een inductiebasis en een inductiestap. De inductiebasis is meestal van de vorm "de stelling die ik wil bewijzen is waar als ik het kleinst mogelijke getal invul". Dit is één specifiek geval, en daarom is de inductiebasis meestal ook best makkelijk. In het voorbeeld hierboven bestaat de inductiebasis uit 1 invullen, en dan constateren dat 3 inderdaad deelbaar is door 3.

De inductiestap is ingewikkelder. De algemene versie van de inductiestap luidt als volgt: Als de stelling waar is als ik $$k$$ invul, dan is hij ook waar als ik $$k+1$$ invul. "Als" en "dan" zijn dikgedrukt omdat die heel belangrijk zijn: bij een inductiestap doe je namelijk net alsof je de stelling al bewezen hebt voor $$k$$. Onder die aanname bewijs je de stelling dan voor $$k+1$$. In het voorbeeld hierboven is de inductiestap: als $$4^k-1$$ deelbaar is door 3, dan is $$4^{k+1}-1$$ dat ook.

Een bewijs van inductie
Waarom werkt deze methode? Het "dominosteeneffect" geeft misschien een intuïtieve verklaring, maar inductie is ook netjes te bewijzen. Stel dat je een inductiebasis en een inductiestap hebt bewezen voor een bepaalde stelling. We gaan nu bewijzen uit het ongerijmde. We nemen aan dat er een getal bestaat zodat de stelling niet waar is. Als dat zo is, dan is er ook een kleinste getal waarvoor de stelling niet waar is. Noem dit getal $$m$$. Nu moet de stelling waar zijn voor $$m-1$$, want $$m$$ was het kleinste getal waarvoor de stelling niet klopte. Bovendien is $$m$$ groter dan het getal wat je invulde in de inductiebasis, want anders zou de stelling waar zijn voor $$m$$, wat juist niet het geval was. Omdat de stelling nu waar is voor $$m-1$$, concluderen we met de inductiestap dat de stelling waar is voor $$m$$. Maar de stelling was juist niet waar voor $$m$$. We hebben dus een tegenspraak gevonden. Omdat we uit het ongerijmde aan het bewijzen waren, kunnen we nu concluderen dat er geen getal bestaat waarvoor de stelling niet waar is, oftewel, de stelling is waar voor alle getallen.

Nog een voorbeeld
We gaan bewijzen met inductie dat

$$1+2+\ldots+n=\frac12 n(n+1)$$

voor natuurlijke getallen $$n\geq 1$$. We beginnen met de inductiebasis. Die bestaat uit het invullen van het kleinst mogelijke getal, namelijk 1. Als we daadwerkelijk 1 invullen, is het makkelijk te zien dat uit beide formules hierboven 1 komt.

Nu natuurlijk de inductiestap. We nemen aan dat de stelling waar is voor $$ k$$. Omdat de stelling waar is voor $$k$$, kunnen we die nu gewoon gebruiken op deze formule:

$$ 1+2+\ldots+k+(k+1)=\frac12k(k+1)+(k+1)=(\frac12k+1)(k+1)$$

Maar <\frac12k+1> is gewoon hetzelfde als $$ \frac12(k+2)$$, we halen de halve gewoon buiten haakjes. Dit bij elkaar genomen levert op

$$ 1+2+\ldots+k+1=\frac12 (k+2)(k+1)=\frac12(k+1)(k+2)$$,

precies de stelling voor $$k+1$$. We hebben nu de inductiestap bewezen. Dus de stelling is waar voor alle natuurlijke getallen.

Tips & Tricks

 * Wanneer gebruik je inductie? Dit is niet altijd duidelijk, want inductie is meer een soort techniek. Een eerste criterium is dat je inductie alleen kan gebruiken als je iets wilt bewijzen over natuurlijke getallen. Een stelling als $$x^2\geq 0$$ is heel leuk, maar gaat over reële getallen, en kan je dus niet bewijzen met inductie. Er zijn een paar specifieke gevallen waarbij je inductie vaak nodig hebt:
 * Rijtjes van getallen. Als je iets moet bewijzen over een rijtje $$x_1,x_2,x_3,\ldots$$, zoals dat $$x_i\leq x_{i+1}$$, dan kan je dat vaak met inductie doen. Zeker als je een zo'n ongelijkheid moet bewijzen, of bijvoorbeeld $$ x_i=y_i$$, dan kan het best handig zijn om naar de toename $$x_{i+1}-x_i$$ te kijken, en die te vergelijken met $$y_{i+1}-y_i$$.
 * Als je een inductiestap moet bewijzen, vergeet dan niet te gebruiken dat je mag gebruiken dat de stelling waar is voor $$k$$! Dit lijkt heel onlogisch, maar precies zoiets doe je ook bij bewijzen uit het ongerijmde, en als je al een beetje logica kent, dan kom je erachter dat het helemaal niet zo gek is dit soort aannames te doen, zolang je er maar de juiste conclusies uit trekt.
 * Als je de inductiestap bewijst, kies dan een andere letter dan $$ n$$. Dat maakt je bewijs overzichtelijker, en geeft aan dat je echt met iets anders bezig bent.