ZFC

ZFC is een systeem voor verzamelingenleer. ZFC is algemeen geaccepteerd als de basis van alle wiskunde. Dit is zo, omdat praktisch alle bekende wiskunde van ZFC afgeleid kan worden. ZFC werkt met het hiërarchische verzamelingenbegrip: elementen van verzamelingen zijn zelf verzamelingen. De taal van ZFC is dan ook het teken $$ \in $$, waarbij $$ x\in y $$ gelezen moet worden als "$$x$$ is een element van $$y$$".

De Axioma's
We zullen de axioma's één voor één langs gaan.

Axioma van bestaan
Het eerste is het axioma van bestaan, dat zegt dat minstens één verzameling bestaat.

$$ \exists x\; x=x $$ Dit axioma heeft geen uitleg nodig, want zonder verzamelingen hebben we geen verzamelingenleer. Het is interessant om op te merken dat het volgt uit het oneindigheidsaxioma.

Axioma van gelijkheid
Precies zoals je zou denken, zegt dit axioma wanneer twee verzamelingen gelijk zijn.

Eerste consequenties
Er volgt meteen dat de lege verzameling bestaat.