Opspansels

Laat $$v_1,\ldots,v_n\in V$$. Het opspansel van deze vectoren, notatie $$span(\{v_1,\ldots,v_n\})=$$ is de verzameling $$\{a_1+\ldots+a_nv_n|\; a_i\in \mathbb{R}\}$$. Mocht je flauw willen doen en het opspansel willen maken van 0 vectoren, dan is $$<\emptyset>=\{0\}$$. Een verzameling vectoren heet volledig als zijn opspansel heel $$V$$ is. Opspansels zijn belangrijk omdat elke basis een opspansel is. Sterker zelfs, bases zijn gedefinieerd in termen van opspansels.

Voorbeeld
Laat $$V=\mathbb{R}^4$$, en bekijk de verzameling

$$v_1= \begin{bmatrix} 2\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \; v_2=\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}, \; v_3=\begin{bmatrix} 0\\1\\1\\0\end{bmatrix}$$

Het is makkelijk te controleren dat $$$$ de verzameling is van vectoren met de onderste coördinaat 0.

Stellingen
Een belangrijke stelling is:

Stelling 1: Het opspansel van $$v_1,\ldots,v_n$$ is een deelruimte van $$V$$.

Bewijs: We gebruiken de herkenningsstelling om minder te hoeven controleren. Laat $$W=$$ Stel dat $$w_1,w_2\in W$$. Dan weten we dat

$$w_1+w_2=(a_1v_1+\ldots+a_nv_n)+(b_1v_1+\ldots+b_nv_n)=(a_1+b_1)v_1+\ldots+(a_n+b_n)v_n$$

Dus $$w_1+w_2\in W$$. Daarnaast geldt voor $$w\in W,\; c\in \mathbb{R}$$

$$cw=c(a_1v_1+\ldots+a_nv_n)=(ca_1)v_1+\ldots+(ca_n)v_n$$

Dus $$cw\in W$$. We zien nu dat $$0\in W$$, want dan maken we alle coëfficiënten gewoon 0. We concluderen dat het opspansel een deelruimte is van $$V$$. Merk op dat de stelling zelfs geldt voor 0 vectoren: de nulruimte is een deelruimte van elke vectorruimte.

Uitdunlemma: Stel dat $$ v_1,\ldots,v_n$$ een volledige verzameling vectoren is, en stel dat $$ v_n$$ een lineaire combinatie is van de overige vectoren. Dan is $$ v_!,\ldots, v_{n-1}$$ een volledige verzameling.

Bewijs: Neem een willekeurige vector $$v\in V$$ zijn. Dan weten we dat

$$ v=a_1v_1+a_2v_2+\ldots+a_nv_n$$

Maar omdat $$v_n$$ een lineaire combinatie van de andere vectoren is, geldt:

$$ v=a_1v_1+\ldots+a_{n-1}v_{n-1}+a_n(b_1v_1+\ldots+b_{n-1}v_{n-1})$$ $$=(a_1+a_nb_1)v_1+\ldots+(a_{n-1}+a_nb_{n-1})v_{n-1}$$

Dus $$v_1,\ldots,v_{n-1}$$ is volledig.