Lineair Onafhankelijk

"Lineair onafhankelijk" is een eigenschap die een aantal vectoren $$v_1,\ldots,v_n\in V$$ kunnen hebben. Het betekent dat je ze niet in elkaar kan uitdrukken. Lineair onafhankelijke vectoren spelen in rol bij het definiëren van een basis.

Definitie
De vectoren $$v_1,\ldots,v_n$$ heten lineair afhankelijk als één van de vectoren $$v_i$$ uitgedrukt kan worden in de andere vectoren:

$$ v_i=a_1v_1+\ldots+a_{i-1}v_{i-1}+a_{i+1}v_{i+1}+\ldots+a_nv_n$$

De vectoren heten lineair onafhankelijk als dat juist niet kan.

Stellingen
Stelling 1: Een verzameling $$v_1,\ldots,v_n$$ is lineair onafhankelijk d.e.s.d.a. het volgende waar is: Als

$$ a_1v_1+\ldots+a_nv_n=0$$

dan geldt $$a_1=a_2=\ldots=a_n=0$$. Het bewijs hiervan is gegeven in het college en je mag het zelf uittypen en hierin zetten als je wilt.

Stelling 2: Als de verzameling $$S$$ van vectoren lineair afhankelijk is, en $$S\subseteq T$$, dan is $$T$$ ook lineair afhankelijk.

Bewijs: Stel dat

$$ a_1s_1+\ldots+a_ns_n=0$$

en niet alle $$a_i$$ zijn $$0$$. Stel dat $$t_1,\ldots,t_m$$ alle vectoren zijn die niet in $$S$$ zitten, maar wel in $$T$$. Dan geldt dat

$$ a_1s_1+\ldots+ a_ns_n+0t_1+\ldots+0t_m=0$$ en nog steeds niet alle $$a_i$$ zijn $$0$$. Dus $$T$$ is lineair afhankelijk.

Een gevolg is dat een deelverzameling van een lineair onafhankelijke verzameling nog steeds lineair onafhankelijk is.