Inverse functies

Inverse functies zijn precies wat de naam zegt: ze kunnen toegepast worden om andere functies ongedaan te maken.

Definitie
Laat $$f:A\to B$$ een functie zijn. Dan is $$g:B\to A$$ een inverse functie als $$g(f(a))=a$$ en $$f(g(b))=b$$. Een functie heet inverteerbaar als hij een inverse heeft.

Bijectieve functies
Stelling: De inverteerbare functies zijn precies de bijectieve functies.

Bewijs: Stel dat $$f$$ inverteerbaar is, en laat $$g$$ een inverse zijn. Dan geldt dat $$g\circ f=\text{Id}_A$$. Maar de identiteitsfunctie is bijectief. Omdat hij surjectief is, volgt dat $$f$$ ook wel surjectief moet zijn. Omdat hij injectief is, moet $$g$$ ook wel injectief zijn. Analoog kunnen we deze redenatie omkeren voor $$f\circ g$$, en er volgt dat $$f$$ en $$g$$ bijectief zijn.

Stel dat $$f$$ bijectief zijn. Dan volgt dat er, voor alle $$b\in B$$ precies een $$a\in A$$ is met $$f(a)=b$$. Laat $$g(a)$$ die unieke $$a$$ zijn. Het is duidelijk dat $$g(f(a))=a$$, vanwege de definitie van $$g$$. Andersom is $$f(g(b))=b$$, ook vanwege de definitie van $$g$$. Dus $$f$$ is inverteerbaar.