Basis

Een basis voor een vectorruimte $$V$$ is een verzameling vectoren die volledig en lineair onafhankelijk is. Bases zijn belangrijk binnen de lineaire algebra, want je kunt vectorruimtes heel goed karakteriseren met behulp van bases.

Het bestaan van bases
Een logische vraag die je kan stellen is: heeft elke vectorruimte een basis? Het antwoord is ja, maar deze stelling is equivalent aan het keuzeaxioma. We gebruiken Zorn's lemma, een equivalent van het keuzeaxioma.

Stelling: Als $$S\subseteq V$$ een lineair onafhankelijke verzameling is, dan is er een basis $$ B\subseteq B$$ met $$ S\subseteq B$$.

Bewijs: Laat $$X$$ de verzameling zijn van lineair onafhankelijke verzamelingen $$Y$$ met $$S\subseteq Y$$. We merken op dat als

$$A_1\subseteq A_2\subseteq \ldots>\subseteq A_\alpha\subseteq \ldots$$

lineair onafhankelijke verzamelingen zijn, dan is $$A=\bigcup A_i$$ ook lineair onafhankelijk. Stel namelijk dat $$A$$ lineair afhankelijk is, dus dat er $$a_1,\ldots,a_n\in A$$ zijn met

$$ c_1a_1+\ldots+c_na_n=0$$,

en niet alle $$c_i=0$$. Omdat er maar eindig veel $$a_i$$ zijn, is er op een gegeven moment een $$A_\alpha$$ waar deze vectoren ook in zitten. Deze verzameling is nu lineair afhankelijk, een tegenspraak.

De conclusie is dat elke ketting $$A_1\subseteq A_2\subseteq \ldots$$ een bovengrens heeft, namelijk, $$A$$, en Zorn's lemma vertelt ons nu dat er een maximaal element $$Z$$ is. Wegens deze stelling is $$Z$$ een basis.