Differentieerbare functies zijn continu

Dit is gewoon een stelling, en de titel zegt waar die over gaat. We bewijzen zelfs iets meer: als een functie differentieerbaar is in $$ a$$, dan is hij continu in $$a$$

Statement
Laat $$f: D\to \mathbb{R}$$ een functie zijn, met $$a\in D$$, en $$D$$ een interval is. Als $$f$$ differentieerbaar is in $$a$$, dan is hij ook continu in $$a$$.

Bewijs
We bekijken de uitdrukking $$ f(x)-f(a)$$. We nemen de limiet, en laten $$x$$ naar $$a$$ gaan, en vinden dat

$$ \lim_{x\to a} f(x)-f(a)=\lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)=f'(a)\cdot 0=0$$.

Dit bewijst dat $$\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$$, en dus is $$f$$ continu, volgens de definitie van continu.