Euclides' Propositie 1

Euclides' propositie 1 is de constructie van een gelijkbenige driehoek op een willekeurig lijnstuk $$ AB$$. De volledige stelling is: Voor elke twee punten $$ A,\; B $$ bestaat er een punt $$C$$ zodat $$\triangle ABC$$ een gelijkbenige driehoek is. Er zit echter al meteen een fout in het bewijs, doordat Euclides impliciet aannames doet die niet vermeld zijn.

Bewijs
Teken twee cirkels, beide met straal $$AB$$, en middelpunten $$A$$ en $$B$$. Laat $$C$$ een snijpunt zijn van die twee cirkels. Dan geldt dat $$\|AC\|=\|AB\|=\|BC\|$$ vanwege de eigenschappen van een cirkel. Nu is $$\triangle ABC$$ dus gelijkzijdig.

Discussie
Wat is het probleem van dit bewijs? Het probleem zit erin dat het punt $$C$$ niet noodzakelijk hoeft te bestaan. Kijkend naar Euclides' Axioma's is dat intuïtief duidelijk. Dit probleem kun je oplossen door een coördinatenstelsel in te voeren, of gebruik te maken van de sterkere axioma's van Hilbert.