Functies

Een functie is een speciaal soort relatie tussen twee verzamelingen.

Definitie
Stel dat $$A, B$$ verzamelingen zijn. Dan is $$f\subseteq A\times B$$ een functie als geldt dat wanneer $$\langle x,y\rangle, \langle x,z\rangle\in f$$, dan $$y=z$$. In andere woorden, voor elke $$ x\in A$$ is er een unieke $$ y\in B$$ zodat $$xfy$$. Deze $$ y$$ wordt ook wel geschreven als $$ f(x)$$. De verzameling $$ A$$ heet in dit geval het domein, en $$ B$$ is het codomein. Merk op dat niet elk element in $$B$$ ook daadwerkelijk "bereikt" moet worden door $$f$$. De elementen die w\'el bereikt worden heten het bereik van $$f$$, genoteerd met $$\text{im}(f)$$ of $$f(A)$$.

Functie vs. Afbeelding
Functies worden ook wel afbeeldingen genoemd. Sommigen vinden dat functies altijd $$ \mathbb{R}$$ als domein of codomein moeten hebben, maar ik vind dat niet, dus ik gebruik gewoon functie. Let dus op dat soms functie en afbeelding door elkaar gebruikt wordt.

...jectief
Sommige functies hebben speciale eigenschappen. Een functie $$f:A\to B$$ heet surjectief als het bereik daadwerkelijk het codomein is, dus $$f(A)=B$$. Dit hangt dus af van het codomein: we kunnen van elke functie het codomein uitbreiden zodat de functie sowieso niet surjectief is.

Een tweede eigenschap is injectiviteit. We noemen een functie injectief, of 1-op-1 als twee verschillende elementen van $$A$$ naar verschillende elementen van $$B$$ gestuurd worden.

Een functie heet bijectief als hij zowel injectief als surjectief is.