Kettingregel

De kettingregel is een regel bij het differentiëren. De kettingregel definieert de afgeleide van de compositie van twee functies, om precies te zijn: als $$ f,g: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$$, $$g$$ is differentieerbaar in $$x$$, en $$f$$ is differentieerbaar in $$g(x)$$, dan is $$f(g(x))$$ differentieerbaar in $$x$$, en de afgeleide is gelijk aan $$ f'(g(x))\cdot g'(x)$$.

Bewijs van de kettingregel
Dit is het bewijs uit het calculusboek van Adams en Essex.

Stel dat de voorwaarden van de kettingregel waar zijn. Definieer dan een nieuwe functie $$ E(k)$$ door $$ E(0)=0$$ en $$E(k)=\frac{f(g(x)+k)-f(g(x))}{k}-f'(g(x))$$. Het leuke aan deze functie is dat de limiet

$$\lim_{k\to 0} E(k)=f'(g(x))-f'(g(x))=0$$.

Dus $$E(k)$$ is continu in $$0$$. Dit hebben we zo nog nodig. Daarnaast hebben we de volgende gelijkheid, deze geldt als $$k=0$$, en ook als dat niet zo is:

$$f(g(x)+k)-f(g(x))=(f'(g(x))+E(k))k$$

We vullen nu in $$k=g(x+h)-g(x)$$. We krijgen dan

$$ f(g(x+h))-f(g(x))=(f'(g(x))+E(g(x+h)-g(x)))(g(x+h)-g(x))$$.

Het plan is straks om $$h$$ naar $$0$$ te laten gaan. We berekenen daarom $$lim_{h\to 0} E(g(x+h)-g(x))$$. Omdat differentieerbare functies altijd continu zijn, geldt dat $$\lim_{h\to 0} g(x+h)-g(x)=0$$. Omdat $$E(k)$$ continu was in $$0$$, kunnen we nu concluderen wegens de compositie van limieten dat $$\lim_{h\to 0}E(g(x+h)-g(x))=\lim_{k\to 0} E(k)=0$$. Dus er geldt nu dat de afgeleide van $$f(g(x))$$ in $$x$$ gelijk is aan

$$\left[ f(g(x))\right]'=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}$$$$=\lim_{h\to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\cdot (f'(g(x))+E(g(x+h)-g(x)))$$

Wegens de formule hierboven die we bewezen hebben. We splitsen de limieten volgens het product van limieten, en vinden dan dat dit hetzelfde is als

$$ (f'(g(x))+0)g'(x)$$

Dit bewijst de kettingregel.