Limieten

Limieten zijn een manier om een waarde in een functie in te vullen die eigenlijk niet kan. Zo bestaat de functie $$ \frac{\sin (x)}{x}$$ niet voor $$x=0$$. Als je naar de grafiek van deze functie kijkt, zul je zien dat het lijkt of deze functie de y-as snijdt met y-coördinaat 1. Alleen op dit punt bestaat de functie niet. Met behulp van limieten kunnen we toch wat zeggen over de "waarde" op dat punt. Merk op dat de limiet die je wilt onderzoeken niet altijd bestaat, zoals wanneer de functie "naar oneindig gaat", of een limiet gewoon helemaal nergens op slaat.

Analytische definitie
Deze definitie is volgens de analyse, er is ook een topologische definitie. Stel dat we een functie $$ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$$ hebben, en willen weten of de limiet bestaat als $$x$$ naar $$a$$ gaat. Een getal $$ L$$ heet de limiet van de functie als voor elk getal $$\epsilon >0$$ er een $$\delta>0$$ bestaat zodat wanneer $$|x-a|<\delta$$, dan $$|f(x)-L|<\epsilon$$.

Hoe lees je dit? Je moet het zien als een soort challenge. Hoe dicht kan ik bij $$ L$$ komen, als $$x$$ dicht bij $$a$$ komt? Het antwoord moet zijn: zo dicht als je wil! Dus als ik aan jou vraag of je dichter dan $$\epsilon$$, bij $$ L$$ kan komen, dan moet je dat kunnen! De $$ x$$ die je invult, moeten steeds dichter bij $$a$$ liggen. Hoe dicht bij je bij $$a$$ moet komen om dat voor elkaar te krijgen maakt me niet zo veel uit, dat moet je zelf maar kiezen. Dus als jij zegt dat een afstand $$\delta$$ van $$a$$ genoeg is om binnen de $$ \epsilon$$ van $$L$$ te komen, dan vind ik dat helemaal goed. Als je mijn "challenges" niet kan halen, dan is $$L$$ blijkbaar geen limiet.