Deelruimtes (vectorruimtes)

Stel dat je de vectorruimte $$\mathbb{R}^3$$ hebt. Het kan best zijn dat je alleen geïnteresseerd bent in de vectoren met $$z$$-coördinaat 0. Dit is dus eigenlijk het platte vlak. Het is bekend dat dit ook een vectorruimte is. Deze vectorruimte zit dus eigenlijk "in" de grotere vectorruimte $$\mathbb{R}^3$$. Dit is het idee van deelruimtes: ruimtes die in een andere ruimte zitten.

Definitie
Stel dat je een vectorruimte $$V$$ hebt. Een deelruimte is dan een deelverzameling $$U$$ van $$V$$, zodat de som van twee vectoren in $$ U$$ nog steeds in $$U$$ zit, en een scalaire vermenigvuldiging van een vector in $$ U$$ nog steeds in $$ U$$ zit. Daarnaast gelden alle regels voor vectorruimtes nog steeds in $$ U$$.

Een voordeel aan deelruimtes is dat het vrij makkelijk te controleren is of een ruimte een deelruimte is. De volgende stelling geldt namelijk:

Herkenningsstelling:
Het is niet nodig alle regels voor vectorruimtes te controleren: als de som van twee vectoren die in $$U$$ zitten en het scalair product van een vector die in $$U$$ zit nog steeds in $$U$$ zitten, en $$0$$ zit in $$U$$, dan is $$U$$ een deelruimte.

Bewijs: We controleren alle regels zoals gegeven in de pagina Vectorruimtes. Het eerste bolletje, dat optellen associatief en commutatief is, volgt uit het feit dat dat zo is in $$V$$: deze eigenschappen gelden voor alle vectoren in $$ V$$, en aangezien $$ U\subseteq V$$, gelden deze regels ook voor alle vectoren in $$U$$.

Dezelfde redenatie werkt voor bolletje 4, 5 en 6: deze eigenschappen gelden voor alle vectoren in $$V$$, en dus in het bijzonder ook voor alle vectoren in $$U$$.

Bolletje 2 is duidelijk: we weten dat 0 in de vectorruimte zit.

Voor bolletje 3 gebruiken we het feit dat $$v+(-1)v=0$$. De vector $$(-1)v$$ zit in $$U$$, want we kunnen scalair vermenigvuldigen in $$U$$. Dus we hebben voor elke vector een (unieke) inverse gevonden.

We hebben alle bolletjes gehad, dus $$U$$ is een deelruimte van $$V$$.

Voorbeeld
De nulruimte is een deelruimte van alle vectorruimtes, omdat de som van nulvectors de nulvector is, en het scalair product met de nulvector is weer de nulvector. De nulvector zit natuurlijk triviaal in deze ruimte.