Basis is maximaal lineair onafhankelijke verzameling

Dit is een stelling, die precies zegt dat in een vectorruimte $$ V$$ een basis precies een lineair onafhankelijke verzameling is, die maximaal is met betrekking tot inclusie ($$ \subseteq$$).

Bewijs
Stel dat $$B$$ een basis is, $$B\subseteq S$$ en $$v\in B\backslash S$$. Dan, omdat $$B$$ een basis is, geldt dat $$v$$ een lineaire combinatie is van elementen van $$B$$. Nu volgt dat $$B\cup \{v\}\subseteq S$$ niet lineair onafhankelijk is, en dus is $$B$$ maximaal met betrekking tot inclusie.

Stel dat $$X$$ lineair onafhankelijk is, en maximaal met betrekking tot inclusie. Stel ook dat $$X$$ geen basis is. Dan is er een $$v\in V$$ die geen lineaire combinatie is van elementen van $$X$$. We gaan bewijzen dat $$X\cup \{v\}$$ lineair onafhankelijk is. Als nu $$x_1,x_2,\ldots,x_n\in X$$, dan bekijken we de vergelijking

$$a_1x_1+\ldots+a_nx_n+cv=0$$.

Stel $$c\neq 0$$. Dan is $$v$$ te schrijven als lineaire combinatie van elementen van $$X$$, dit is in te zien door $$v$$ naar de andere kant te halen en te delen door $$-c$$. Dus $$c=0$$. Maar nu moeten alle $$a_i$$ ook wel $$0$$ zijn, want $$X$$ is lineair onafhankelijk. Dus we vinden dat $$X\cup \{v\}$$ lineair onafhankelijk is, maar dit is een tegenspraak met het feit dat $$X$$ maximaal was. Dus we kunnen concluderen dat $$X$$ een basis is.